Contoh Soal Fungsi Naik Turun Dan Stasioner
Anda mungkin sudah familiar dengan istilah fungsi dalam matematika. Fungsi adalah hubungan antara suatu input dengan output. Dalam analisis fungsi, kita melihat bagaimana perubahan input mempengaruhi perubahan output. Salah satu aspek penting dalam analisis fungsi adalah menentukan apakah suatu fungsi naik, turun, atau stasioner pada suatu interval tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal yang berhubungan dengan konsep ini.
Fungsi Naik
Sebuah fungsi dikatakan naik jika nilainya meningkat seiring dengan peningkatan input. Dalam grafik fungsi, hal ini ditunjukkan dengan grafik yang bergerak dari kiri bawah ke kanan atas. Untuk menentukan apakah suatu fungsi naik, kita perlu melihat turunan pertama fungsi tersebut. Turunan pertama adalah perubahan tingkat pertumbuhan fungsi. Jika turunan pertama positif, maka fungsi tersebut naik.
Contoh Soal 1:
Tentukanlah apakah fungsi y = 2x + 3 naik, turun, atau stasioner pada interval \(x \geq 0\).
Untuk menentukan apakah fungsi ini naik atau turun, kita perlu melihat turunan pertama fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi y = 2x + 3 adalah 2. Karena turunan pertama positif (2 > 0), maka fungsi ini naik pada interval \(x \geq 0\).
Contoh Soal 2:
Tentukanlah apakah fungsi y = x^2 + 4x – 3 naik, turun, atau stasioner pada interval [-3, 2].
Untuk menentukan apakah fungsi ini naik atau turun, kita perlu melihat turunan pertama fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi y = x^2 + 4x – 3 adalah 2x + 4. Untuk menentukan apakah fungsi ini naik atau turun pada interval [-3, 2], kita perlu menguji nilai-nilai di dalam interval tersebut. Jika nilai-nilai fungsi pada interval tersebut positif, maka fungsi ini naik pada interval tersebut.
Mengganti nilai x dengan -3, kita mendapatkan y = (-3)^2 + 4(-3) – 3 = 9 – 12 – 3 = -6. Jadi, pada interval [-3, 2], nilai fungsi pada x = -3 adalah -6.
Mengganti nilai x dengan 2, kita mendapatkan y = 2^2 + 4(2) – 3 = 4 + 8 – 3 = 9. Jadi, pada interval [-3, 2], nilai fungsi pada x = 2 adalah 9.
Karena nilai-nilai fungsi pada interval [-3, 2] ini positif, maka fungsi ini naik pada interval tersebut.
Fungsi Turun
Sebuah fungsi dikatakan turun jika nilainya menurun seiring dengan peningkatan input. Dalam grafik fungsi, hal ini ditunjukkan dengan grafik yang bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. Untuk menentukan apakah suatu fungsi turun, kita perlu melihat turunan pertama fungsi tersebut. Jika turunan pertama negatif, maka fungsi tersebut turun.
Contoh Soal 3:
Tentukanlah apakah fungsi y = -3x + 2 turun, naik, atau stasioner pada interval \(x \leq 5\).
Untuk menentukan apakah fungsi ini turun atau naik, kita perlu melihat turunan pertama fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi y = -3x + 2 adalah -3. Karena turunan pertama negatif (-3 < 0), maka fungsi ini turun pada interval \(x \leq 5\).
Contoh Soal 4:
Tentukanlah apakah fungsi y = -x^2 + 5x – 2 turun, naik, atau stasioner pada interval [1, 4].
Untuk menentukan apakah fungsi ini turun atau naik, kita perlu melihat turunan pertama fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi y = -x^2 + 5x – 2 adalah -2x + 5. Untuk menentukan apakah fungsi ini turun atau naik pada interval [1, 4], kita perlu menguji nilai-nilai di dalam interval tersebut. Jika nilai-nilai fungsi pada interval tersebut negatif, maka fungsi ini turun pada interval tersebut.
Mengganti nilai x dengan 1, kita mendapatkan y = -(1)^2 + 5(1) – 2 = -1 + 5 – 2 = 2. Jadi, pada interval [1, 4], nilai fungsi pada x = 1 adalah 2.
Mengganti nilai x dengan 4, kita mendapatkan y = -(4)^2 + 5(4) – 2 = -16 + 20 – 2 = 2. Jadi, pada interval [1, 4], nilai fungsi pada x = 4 juga adalah 2.
Karena nilai-nilai fungsi pada interval [1, 4] ini positif, maka fungsi ini turun pada interval tersebut.
Fungsi Stasioner
Sebuah fungsi dikatakan stasioner jika tidak naik atau tidak turun, artinya tidak mengalami perubahan tingkat pertumbuhan. Hal ini terjadi ketika turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0. Untuk menentukan apakah suatu fungsi stasioner, kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0.
Contoh Soal 5:
Tentukanlah apakah fungsi y = x^3 – 3x^2 + x stasioner.
Untuk menentukan apakah fungsi ini stasioner, kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan 0. Turunan pertama dari fungsi y = x^3 – 3x^2 + x adalah 3x^2 – 6x + 1. Untuk mencari nilai-nilai x yang membuat turunan pertama ini sama dengan 0, kita harus mencari akar-akar persamaannya.
Menggunakan rumus kuadrat, kita bisa mencari akar-akar persamaannya:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
Dalam kasus ini, a = 3, b = -6, dan c = 1.
Mengganti nilai-nilai ini, kita dapatkan:
\(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4(3)(1)}}{2(3)}\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 12}}{6}\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6}\)
\(x = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6}\)
Dengan membagi setiap suku dengan 2, kita dapatkan:
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}\)
Sehingga, terdapat dua nilai x yang membuat turunan pertama fungsi ini sama dengan 0, yaitu \(x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}\) dan \(x = \frac{3 – \sqrt{6}}{3}\).
Jadi, fungsi y = x^3 – 3x^2 + x stasioner ketika \(x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}\) atau \(x = \frac{3 – \sqrt{6}}{3}\).
FAQ
Apa itu fungsi naik?
Fungsi dikatakan naik jika nilai fungsi meningkat seiring dengan meningkatnya input.
Apa itu fungsi turun?
Fungsi dikatakan turun jika nilai fungsi menurun seiring dengan meningkatnya input.
Apa itu fungsi stasioner?
Fungsi dikatakan stasioner jika tidak naik atau tidak turun, dan tidak mengalami perubahan tingkat pertumbuhan.
Bagaimana cara menentukan apakah suatu fungsi naik, turun, atau stasioner?
Untuk menentukan apakah suatu fungsi naik, turun, atau stasioner, perhatikan turunan pertama fungsi tersebut. Jika turunan pertama positif, fungsi naik. Jika turunan pertama negatif, fungsi turun. Jika turunan pertama sama dengan 0, fungsi stasioner.
Apa hubungan antara turunan pertama fungsi dengan fungsi yang naik, turun, atau stasioner?
Turunan pertama fungsi adalah perubahan tingkat pertumbuhan fungsi. Jika turunan pertama positif, fungsi naik. Jika turunan pertama negatif, fungsi turun. Jika turunan pertama sama dengan 0, fungsi stasioner.
Dalam artikel ini, kita telah membahas contoh soal yang berhubungan dengan fungsi naik, turun, dan stasioner. Dapat disimpulkan bahwa menentukan apakah suatu fungsi naik, turun, atau stasioner sangat penting dalam analisis fungsi. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menerapkan matematika dengan lebih baik dalam berbagai aspek kehidupan. Semoga artikel ini bermanfaat bagi Anda dalam memahami konsep ini dengan lebih baik.