Contoh Soal Turunan Berantai: Pengenalan, Penjelasan dan Latihan Soal
Pendahuluan
Dalam ilmu matematika, turunan adalah salah satu konsep yang sangat penting. Turunan menggambarkan perubahan suatu fungsi dengan memperhatikan perubahan nilai inputnya. Salah satu bentuk turunan yang sering digunakan adalah turunan berantai atau turunan lanjutan. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi contoh soal turunan berantai beserta penjelasannya.
Konten
1. Apa itu Turunan Berantai?
Sebelum kita melangkah lebih jauh, penting untuk memiliki pemahaman yang kuat tentang turunan. Dalam matematika, turunan adalah perubahan suatu fungsi terhadap variabel inputnya. Diberikan suatu fungsi y = f(x), turunan dinyatakan sebagai f ‘(x) atau dy/dx.
Turunan berantai, atau turunan lanjutan, adalah konsep yang digunakan ketika kita memiliki fungsi yang melibatkan fungsi lain di dalamnya. Dalam turunan berantai, kita menggunakan aturan rantai atau aturan turunan berantai untuk menghitung turunan fungsi yang lebih kompleks.
Aturan rantai menggunakan konsep komposisi fungsi, di mana output suatu fungsi menjadi input fungsi lain. Dalam hal ini, ada aturan khusus yang digunakan untuk mengelola fungsi-fungsi ini ketika kita ingin menghitung turunannya.
2. Aturan Rantai dalam Turunan Berantai
Aturan rantai dalam turunan berantai dirumuskan sebagai berikut: jika kita memiliki fungsi f(g(x)), maka turunan fungsi tersebut dapat dihitung dengan memperhatikan dua faktor utama, yaitu turunan fungsi luar (f ‘) dan turunan fungsi dalam (g ‘). Turunan fungsi luar dikalikan dengan turunan fungsi dalam. Secara simbolis, aturan ini dapat ditulis sebagai berikut:
(f(g(x))) ‘ = f'(g(x)) * g'(x)
Aturan ini sangat penting dalam menghitung turunan fungsi yang lebih kompleks yang melibatkan fungsi-fungsi lain di dalamnya. Selain itu, aturan yang sama juga dapat digunakan dalam menghitung turunan fungsi trigonometri, eksponensial, logaritma, dan fungsi lainnya.
3. Contoh Soal Turunan Berantai
Sekarang, mari kita lihat beberapa contoh soal turunan berantai untuk memperjelas konsep ini.
Contoh Soal 1:
Hitung turunan dari fungsi f(x) = (2x^2 + 3x – 5)^3
Jawaban:
Pertama, kita perlu mengidentifikasi fungsi luar dan fungsi dalam. Dalam fungsi ini, fungsi luar adalah fungsi pangkat tiga dan fungsi dalam adalah 2x^2 + 3x – 5.
Selanjutnya, kita perlu menghitung turunan fungsi luar (f'(g(x))) dan turunan fungsi dalam (g'(x)).
– Turunan fungsi luar (f'(g(x))) = 3(2x^2 + 3x – 5)^2
– Turunan fungsi dalam (g'(x)) = 4x + 3
Terakhir, kita kalikan kedua turunan ini:
(f(g(x))) ‘ = f'(g(x)) * g'(x)
(2x^2 + 3x – 5)^3 ‘ = 3(2x^2 + 3x – 5)^2 * (4x + 3)
Jadi, turunan dari fungsi f(x) = (2x^2 + 3x – 5)^3 adalah 3(2x^2 + 3x – 5)^2 * (4x + 3).
Dalam contoh ini, kita telah mengaplikasikan aturan rantai untuk menghitung turunan fungsi yang lebih kompleks.
Contoh Soal 2:
Hitung turunan dari fungsi f(x) = sin(2x^2 + 3x)
Jawaban:
Dalam contoh ini, fungsi luar adalah fungsi sinus (sin) dan fungsi dalam adalah 2x^2 + 3x.
Selanjutnya, kita perlu menghitung turunan fungsi luar (f'(g(x))) dan turunan fungsi dalam (g'(x)).
– Turunan fungsi luar (f'(g(x))) = cos(2x^2 + 3x)
– Turunan fungsi dalam (g'(x)) = 4x + 3
Terakhir, kita kalikan kedua turunan ini:
(f(g(x))) ‘ = f'(g(x)) * g'(x)
sin(2x^2 + 3x) ‘ = cos(2x^2 + 3x) * (4x + 3)
Jadi, turunan dari fungsi f(x) = sin(2x^2 + 3x) adalah cos(2x^2 + 3x) * (4x + 3).
Melalui contoh ini, kita dapat mengamati bagaimana aturan rantai digunakan dalam menghitung turunan fungsi trigonometri yang melibatkan fungsi lain di dalamnya.
Kesimpulan
Turunan berantai adalah konsep penting dalam matematika yang digunakan dalam menghitung turunan fungsi yang melibatkan fungsi-fungsi lain di dalamnya. Aturan rantai atau aturan turunan berantai memungkinkan kita untuk menghitung turunan fungsi yang lebih kompleks dengan memperhatikan fungsi luar dan fungsi dalam. Dalam artikel ini, kita telah menjelajahi contoh soal turunan berantai dan memperjelas konsep ini melalui penjelasan terperinci. Dengan pemahaman yang kuat tentang aturan rantai, kita dapat menghitung turunan fungsi dengan lebih efisien.
FAQ
1. Mengapa turunan berantai penting dalam matematika?
Turunan berantai penting dalam matematika karena memungkinkan kita untuk menghitung turunan fungsi yang melibatkan fungsi-fungsi lain di dalamnya. Dalam banyak kasus, fungsi-fungsi ini berinteraksi satu sama lain, dan aturan rantai memungkinkan kita untuk menghitung turunan dengan memperhatikan kontribusi dari setiap fungsi tersebut.
2. Bagaimana cara menghitung turunan berantai?
Untuk menghitung turunan berantai, kita perlu mengidentifikasi fungsi luar dan fungsi dalam. Kemudian, kita perlu menghitung turunan fungsi luar dan fungsi dalam terlebih dahulu. Terakhir, kita kalikan kedua turunan ini untuk mendapatkan hasil akhir.
3. Apa hubungan antara aturan rantai dan aturan turunan?
Aturan rantai adalah salah satu aturan turunan yang digunakan untuk menghitung turunan fungsi yang melibatkan fungsi-fungsi lain di dalamnya. Aturan rantai memperhatikan kontribusi dari fungsi luar dan fungsi dalam dalam perhitungan turunan. Oleh karena itu, aturan rantai adalah bentuk khusus dari aturan turunan yang diterapkan dalam kasus-kasus yang melibatkan fungsi-fungsi berantai.