Contoh Soal Turunan Fungsi Implisit

Pendahuluan

Fungsi implisit adalah jenis fungsi matematika yang ditentukan oleh hubungan antara variabel-variabel terkait dan biasanya dinyatakan dalam bentuk persamaan. Turunan fungsi implisit adalah turunan dari fungsi implisit tersebut dengan mempertimbangkan turunan terhadap salah satu variabel sebagai fungsi dari variabel lainnya.

Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh-contoh soal turunan fungsi implisit beserta penyelesaiannya. Akan ada beberapa contoh soal yang melibatkan persamaan linier, kuadrat, dan kubik untuk mengilustrasikan cara menghitung turunannya.

Isi Artikel

Contoh Soal 1: Persamaan Linier

Misalnya kita memiliki persamaan linier:

x + y = 2

Untuk mencari turunan fungsi implisit ini, pertama kita harus mengingat bahwa kita mencari turunan terhadap variabel x. Oleh karena itu, kita harus menganggap y sebagai fungsi dari x. Mari kita sebut y = f(x).

Kemudian, kita akan mencari turunan dari kedua sisi persamaan ini:

d/dx (x + y) = d/dx (2)

Karena y = f(x), kita dapat menulis ulang persamaan ini menjadi:

1 + dy/dx = 0

Sebagai langkah selanjutnya, kita akan mengisolasi dy/dx dengan memindahkan bilangan 1 ke sisi kanan persamaan. Setelah kita melakukannya, hasilnya adalah:

dy/dx = -1

Jadi, turunan fungsi implisit dari persamaan linier x + y = 2 adalah dy/dx = -1.

Contoh Soal 2: Persamaan Kuadrat

Misalnya kita punya persamaan kuadrat:

x^2 + y^2 = 25

Kita akan menganggap y = f(x) lagi. Kemudian, kita akan mencari turunan dari kedua sisi persamaan ini:

d/dx (x^2 + y^2) = d/dx (25)

Dalam hal ini, kita harus menerapkan aturan rantai untuk menjalankan turunan produk pada suku kedua. Turunan d/dx (y^2) bisa ditulis sebagai dy/dx * 2y. Hasilnya adalah:

2x + 2y * dy/dx = 0

Lalu kita akan mengisolasi dy/dx:

dy/dx = -2x / (2y) = -x / y

Dalam contoh ini, turunan fungsi implisit dari persamaan kuadrat x^2 + y^2 = 25 adalah dy/dx = -x / y.

Contoh Soal 3: Persamaan Kubik

Untuk mengilustrasikan contoh dengan persamaan kubik, kita bisa menggunakan persamaan berikut:

x^3 + y^3 = 64

Kita akan menganggap y = f(x) sekali lagi dan mencari turunan dari kedua sisi persamaan:

d/dx (x^3 + y^3) = d/dx (64)

Kali ini, kita perlu menerapkan aturan rantai untuk menjalankan turunan produk pada suku kedua. Turunan d/dx (y^3) akan menjadi dy/dx * 3y^2. Hasilnya adalah:

3x^2 + 3y^2 * dy/dx = 0

Selanjutnya, kita akan mengisolasi dy/dx:

dy/dx = -3x^2 / (3y^2) = -x^2 / y^2

Jadi, turunan fungsi implisit dari persamaan kubik x^3 + y^3 = 64 adalah dy/dx = -x^2 / y^2.

Kesimpulan

Turunan fungsi implisit melibatkan perhitungan turunan dari fungsi yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Dalam beberapa contoh, kita dapat menggunakan aturan rantai untuk menghitung turunan dari suku-suku yang melibatkan fungsi terkait. Contoh-contoh soal yang dibahas di artikel ini melibatkan persamaan linier, kuadrat, dan kubik.

FAQ

1. Apa itu fungsi implisit?

Fungsi implisit adalah jenis fungsi matematika yang ditentukan oleh hubungan antara variabel-variabel terkait dan dinyatakan dalam bentuk persamaan.

2. Mengapa kita harus menganggap y sebagai fungsi dari x dalam turunan fungsi implisit?

Ketika kita mencari turunan dari fungsi implisit, kita harus memilih satu variabel sebagai variabel bebas dan yang lainnya sebagai fungsi dari variabel bebas tersebut. Dalam contoh ini, kita memilih y sebagai fungsi dari x untuk menghitung turunan fungsi implisit.

3. Mengapa turunan fungsi implisit dihitung?

Turunan fungsi implisit dihitung untuk menemukan tingkat perubahan satu variabel dengan mempertimbangkan perubahan variabel terkait. Hal ini memungkinkan kita untuk mempelajari sifat dan karakteristik fungsi implisit tersebut.

4. Bagaimana cara mengisolasi dy/dx dalam turunan fungsi implisit?

Untuk mengisolasi dy/dx dalam turunan fungsi implisit, langkah pertama adalah memindahkan semua suku yang terkait dengan dy/dx ke satu sisi persamaan dan membagi oleh suku-suku lainnya.